排列與組合練習題一、填空題

　　1.市內某公共汽車站有6個候車位(成一排)，現有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續空座位的候車方式的種數是________.

　　[解析]　由于題目要求的是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共3×2×2=12種;如果是第二種偶奇奇的情況，個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0,1種情況)，共3×2×1=6種，因此總共12+6=18種情況.

　　[答案]　18

　　2.若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有________種.

　　[解析]　滿足題設的取法可分為三類：一是四個奇數相加，其和為偶數，在5個奇數1,3,5,7,9中，任意取4個，有C=5(種);二是兩個奇數加兩個偶數其和為偶數，在5個奇數中任取2個，再在4個偶數2,4,6,8中任取2個，有C·C=60(種);三是四個偶數相加，其和為偶數，4個偶數的取法有1種，所以滿足條件的取法共有5+60+1=66(種).

　　[答案]　66

　　3.(2014·福州調研)若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，稱這個數為“傘數”.現從1,2,3,4,5,6這六個數字中取3個數，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有________個.

　　[解析]　分類討論：若十位數為6時，有A=20(個);若十位數為5時，有A=12(個);若十位數為4時，有A=6(個);若十位數為3時，有A=2(個).

　　因此一共有40個.

　　[答案]　40

　　4.一個平面內的8個點，若只有4個點共圓，其余任何4點不共圓，那么這8個點最多確定的圓的個數為________.

　　[解析]　從8個點中任選3個點有選法C種，因為有4點共圓所以減去C種再加1種，共有圓C-C+1=53個.

　　[答案]　53

　　5.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有________種.

　　[解析]　分兩種情況：選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友有C=6(種)方法;選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友有C=4(種)方法，不同的贈送方法共有6+4=10(種).

　　[答案]　10

　　6.用數字1,2,3,4,5,6六個數字組成一個六位數，要求數字1,2都不與數字3相鄰，且該數字能被5整除，則這樣的五位數有________個.

　　[解析]　由題可知，數字5一定在個位上，先排數字4和6，排法有2種，再往排好的數字4和6形成的3個空位中插入數字1和3，插法有6種，最后再插入數字2，插法有3種，根據分步乘法計數原理，可得這樣的六位數有2×6×3=36個.

　　[答案]　36

　　7.現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法有________種.

　　[解析]　第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法CC=264(種);

　　第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(種).

　　由分類計數原理知不同的取法有264+208=472(種).

　　[答案]　472

　　8.在1,2,3,4,5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為偶數的三位數共有________個.

　　[解析]　在1,2,3,4,5這五個數字中有3個奇數，2個偶數，要求三位數各位數字之和為偶數，則兩個奇數一個偶數，

　　符合條件的三位數共有C·C·A=36(個).

　　[答案]　36

　　排列與組合練習題二、解答題

　　9.從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是多少?(用數字作答).

　　[解]　分三類：選1名骨科醫生，則有C(CC+CC+CC)=360(種);

　　選2名骨科醫生，則有C(CC+CC)=210(種);

　　選3名骨科醫生，則有CCC=20(種).

　　骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是360+210+20=590種.

　　10.四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.

　　(1)若每個盒子放一球，則有多少種不同的放法?

　　(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?

　　[解]　(1)每個盒子放一球，共有A=24(種)不同的放法;

　　(2)法一　先選后排，分三步完成.

　　第一步：四個盒子中選一只為空盒，有4種選法;

　　第二步：選兩球為一個元素，有C種選法;

　　第三步：三個元素放入三個盒中，有A種放法.

　　故共有4×CA=144(種)放法.

　　法二　先分組后排列，看作分配問題.

　　第一步：在四個盒子中選三個，有C種選法;

　　第二步：將四個球分成2,1,1三組，有C種放法;

　　第三步：將三組分到選定的三個盒子中，有A種放法.

　　故共有CCA=144種放法.

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