高三數學月考試題附答案
高三數學月考試題一、選擇題
1.已知集合 , ,則 ( B )
A. B. C. D.
2. 下列函數中既是奇函數，又在 上單調遞增的是 ( C )
A. B. C. D.
3. 給出兩個命題:命題 命題“存在 ”的否定是“任意 ”;命題 ：函數 是奇函數. 則下列命題是真命題的是( C )
A. B. C. D.
4.若函數f(x)=x2-ax- a在區間[0,2]上的最大值為1，則實數a等于( D )
A.-1 B.1 C.-2 D. 2
5 已知函數 是函數 的導函數，則 的圖象大致是( A )
A. B. C. D.
6.已知命題p：x2+2x-3>0;命題q：x>a，且 的一個充分不必要條件是 ，則a的取值范圍是 ( B )
A.(-∞，1] B.[1，+∞) C.[-1，+∞) D.(-∞，-3]
7.7. 已知函數f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側，則實數m的取值范圍是 ( B )
A.(0，2) B.(-∞，1] C.(-∞，1) D.(0，2]
8.若f(x)=ax，x>1，4-a2x+2，x≤1是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為( C )
A.(1，+∞) B.(4，8) C.[4，8) D.(1，8)
9. 已知函數y=f(x)是定義在R上的偶函數，且當 時，不等式 成立，若a=30.2 f(30.2)，b= (logπ2) f(logπ2)， c= f ，則 ， ， 間的大小關系 ( A )
A. B. C. D.
10. 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞)上單調遞增.若實數a滿足f( )+f( )≤2f(2)，則a的取值范圍是( D)
A.(-∞，4] B. (0，4] C. D.
11.(文)已知 是奇函數，則 ( A )
A..14 B. 12 C. 10 D.-8
11. (理)若函數 的大小關系是 (C )
A. B.
C. D.不確定
12.已知函數y=f(x)為奇函數，且 對定義域內的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).當x∈(2，3)時，f(x)=log2(x-1).給出以下4個結論：其中所有正確結論的為 ( A )
①函數y=f(x)的圖象關于點(k，0)(k∈Z)成中心對稱;
②函數y=|f(x)|是以2為周期的周期函數;
③函數y=f(|x|)在(k，k+1)(k∈Z)上單調遞增;
④當x∈(-1，0)時，f(x)=-log2(1-x).
A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④
高三數學月考試題二、填空題
(本大題共有4道小題，每小題5分,共20分)
13.已知實數 滿足 則 的最大值__-4_______
14. 已知 ，則函數 在點 處的切線 與坐標軸圍成的三角形面積為 .
15. 若函數 ( )滿足 且 時， ,函數 ,則函數 在區間 內零點的個數有__12_個.
16. 存在區間 ( )，使得 ，
則稱區間 為函數 的一個“穩定區間”.給出下列4 個函數：
① ;② ;③ ; ④
其中存在“ 穩定區間”的函數有②__③_ .(把所有正確的序號都填上)
高三數學月考試題三、解答題
(本大題共有5道小題，每小題12分,共60分)
17.(本小題滿分12分)
設向量 ， ，其中 ， ，函數
的圖象在 軸右側的第一個最高點(即函數取得最大值的點)為 ，在原點右側與 軸的第一個交點為 .
(Ⅰ)求函數 的表達式;
(Ⅱ)在 中，角A，B，C的對邊分別是 ，若 ，
且 ，求邊長 .
解：解：(I)因為 ， -----------------------------1分
由題意 ， -----------------------------3分
將點 代入 ，得 ，
所以 ，又因為 -------------------5分
即函數的表達式為 . --- ------------------6分
(II)由 ，即
又 ------------------------8分
由 ，知 ，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.(文)(本小題滿分12分)為了解某市的交通狀況，現對其6條道路進行評估，得分分別為：5,6,7,8,9,10.規定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：
評估的平均得分
全市的總體交通狀況等級 不合格 合格 優秀
(Ⅰ)求本次評估的平均得分，并參照上表估計該市的總體交通狀況等級;
(Ⅱ)用簡單隨機抽樣方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數與總體的平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.
【解析】：
(Ⅰ)6條道路的平均得分為 .-----------------3分
∴該市的總體交通狀況等級為合格. -----------------5分
(Ⅱ)設 表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 ”. -----7分
從 條道路中抽取 條的得分組成的所有基本事件為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 個基本事件. -----------------9分
事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 個基本事件，
∴ .
答：該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 的概率為 .------12分
18.(理)(本小題滿分l 2分)
在2015年全國高校自主招生考試中，某高校設 計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題.規定：至少正確回答其中2題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答;考生乙每題正確回答的概率都為23，且每題正確回答與否互不影響.
(I)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數的分布列，并計算其數學期望;
(II)試用統計知識分析比較兩考生的通過能力.
解析：(I)設考生甲、乙正確回答的題目個數分別為ξ、η，則ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ=1)=C14C22C36=15 ，P(ξ=2)=C24C12C36=35，P(ξ=3)=C34C02C36=15，
∴考生甲正確完成題數的 分布列為
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分
又η～B(3，23)，其分布列為P(η=k)=Ck3•(23)k•(13)3-k，k=0，1，2，3;
∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分
(II)∵Dξ=(2-1)2×15+(2-2)2×35+(2-3)2×15=25，
Dη=npq=3×23×13=23， ∴Dξ
∵P(ξ≥2)=35+15=0.8，P(η≥2)=1227+827≈0.74，∴P(ξ≥2)>P(η≥2). ………………10分
從回答對題數的數學期望考查，兩人水平相當;從回答對題數的方差考查，甲較穩定;從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實驗通過能力較強.………………12分
19(理)在四棱錐 中， 平面 ， 是 的中點，
, , .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
解：(Ⅰ)取 的中點 ,連接 , ,
則 ∥ .
因為
所以 .………………………………1分
因為 平面 ， 平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因為 平面 ,所以 ⊥ ;
又 ∥ ，所以 ;
又因為 , ;
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因為 平面 ，所以 …………………… ……6分
(注：也可建系用向量證明)
(Ⅱ)以 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
則 , , ， , ,
， .
………………………………………………8分
設平面 的法向量為 ，則 所以
令 .所以 . ……………………9分
由(Ⅰ)知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .
同理 ⊥ .所以 平面
所以平面 的一個法向量 . …………………10分
所以 ， ……………………11分
由圖可知，二面角 為銳角，
所以二面角 的余弦值為 . ……………………12分
19.(文)在四棱錐 中， 平面 ，
是 的中點， ,
， .
(Ⅰ)求證： ∥平面 ;
(Ⅱ)求證： .
證明：(Ⅰ)取 的中點 ,連接 , .
則有 ∥ .
因為 平面 ， 平面
所以 ∥平面 .……………………2分
由題意知 ,
所以 ∥ .
同理 ∥平面 .…………………4分
又因為 平面 , 平面 ,
所以 平面 ∥平面 .
因為 平面
所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分
(Ⅱ)取 的中點 ,連接 , ,則 ∥ .
因為 ,所以 .………………………………… ……7分
因為 平面 ， 平面 ，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因為 平面 所以 ⊥
又 ∥ ，所以
又因為 ,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因為 平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. (本小題滿分12分) 已知橢圓 的離心率為 ，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 相切..
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線 與橢圓C相交于A、B兩點，且 ，判斷△AOB的面積是否為定值?若為定值，求出定值;若不為定值，說明理由.
【解析】：
(1)由題意知 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故橢圓的方程為 4分
(II)設 ，由 得
12分
21.(文)已知函數 ，其中a∈R.
(1)當 時，求曲線 在點 處的切線的斜率;
(2)當 時，求函數 的單調區間與極值.
解：(1)當a=0時，f(x)=x2ex，f′(x)=(x2+2x)ex，故f′(1)=3e.
所以曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e. …4分
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex
令f′(x)=0，解得x=-2a，或x=a-2， …6分
由a≠23知，-2a≠a-2.
以下分兩種情況討論：
①若a>23，則-2a
x (-∞，-2a) -2a (-2a，a-2) a-2 (a-2，+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以f(x)在(-∞，-2a)，(a-2，+∞)上是增函數，在(-2a，a-2)上是減函數.
函數f(x)在x=-2a處取得極大值為f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a.
函數f(x)在x=a-2處取得極小值為f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. …9分
②若a<23，則-2a>a-2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (-∞，a-2) a-2 (a-2，-2a) -2a (-2a，+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上是增函數，在(a-2，-2a)上是減函數.
函數f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函數f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a. …12分
21. (理)已知函數 ( ).
(1) 當 時，證明：在 上， ;
(2)求證： .
解：(1) 根據題意知，f′(x)=a1-xx (x>0)，
當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(0,1]，單調遞減區間為(1，+∞);
當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(1，+∞)，單調遞減區間為(0,1];
當a=0時，f(x)不是 單調函數.
所以a=-1時，f( x)=-ln x+x-3， 在(1，+∞)上單調遞增，
所以f(x)>f(1 )，
即f(x)>-2，所以f(x)+2>0. …………6分
(2) 由(1)得-ln x+x-3+2>0，即-ln x+x-1> 0，
所以ln x
則有0
∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1n(n≥2，n∈N*). …12分
高三數學月考試題四、選考題
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講
直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD.
(Ⅰ )求證：直線AB是⊙O的切線;
(Ⅱ)若tan∠CED=12，⊙O的半徑為3，求OA的長.
解：(1)證明：連接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圓的半徑，∴AB是圓的切線. ……4分
(2)∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°，
又∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE，
又tan∠CED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，
設BD=x，則BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴(2x)2=x(x+6)，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分
23.(本題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數方程
已知曲線 (t為參數)， ( 為參 數).
(Ⅰ)化 ， 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;
(Ⅱ)過曲線 的左頂點且傾斜角為 的直線 交曲線 于 兩點，求 .
解：⑴
曲線 為圓心是 ，半徑是1的圓.
曲線 為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓.……4分
⑵曲線 的左頂點為 ，則直線 的參數方程為 ( 為參數)
將其代入曲線 整理可得： ，設 對應參數分別為 ，則
所以 ……………10分
24.(本小題滿分10分)選 修4—5：不等式選講
已知函數 ，且 的解集為 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求證： .
解：(Ⅰ)因為 ，所以 等價于 ，…2分
由 有解，得 ，且其解集為 . …4分
又 的解集為 ，故 .…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，又 ， …7分∴ ≥ =9.9分
(或展開運用基本不等式)
∴ ….10分
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