高中數學三角函數圖象與性質練習題一、選擇題

　　1.已知函數y=Asin(ωx+φ)+k的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x=是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　)

　　A.y=4sin　 　B.y=2sin+2

　　C.y=2sin+2 D.y=2sin+2

　　答案：D　解題思路：由題意：解得：又函數y=Asin(ωx+φ)+k最小正周期為，

　　ω==4， f(x)=2sin(4x+φ)+2.又直線x=是f(x)圖象的一條對稱軸，

　　4×+φ=kπ+， φ=kπ-，kZ，故可得y=2sin+2符合條件，所以選D.

　　2.函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點之間的距離為5，則f(x)的遞增區間是(　　)

　　A.[6k-1,6k+2](kZ) B.[6k-4,6k-1](kZ)

　　C.[3k-1,3k+2](kZ) D.[3k-4,3k-1](kZ)

　　答案：B　解題思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，ω=.由f(x)=2sin過點(2，-2)，即2sin=-2,0≤φ≤π，解得φ=.函數f(x)=2sin，由2kπ-≤x+≤2kπ+，解得6k-4≤x≤6k-1，故函數的單調遞增區間為[6k-4,6k-1](kZ).

　　3.當x=時，函數f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，則函數y=f是(　　)

　　A.奇函數且圖象關于點對稱

　　B.偶函數且圖象關于點(π，0)對稱

　　C.奇函數且圖象關于直線x=對稱

　　D.偶函數且圖象關于點對稱

　　答案：C　解題思路：由已知可得f=Asin+φ=-A， φ=-π+2kπ(kZ)，

　　f(x)=Asin，

　　y=f=Asin(-x)=-Asin x，

　　函數是奇函數，關于直線x=對稱.

　　4.將函數y=sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數的一個對稱中心是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　答案：A　命題立意：本題考查了三角函數圖象的平移及三角函數解析式的對應變換的求解問題，難度中等.

　　解題思路：將函數y=sin圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，得y=sin，再向右平移個單位，得y=sin=sin 2x，令2x=kπ，kZ可得x=kπ，kZ，即該函數的對稱中心為，kZ，故應選A.

　　易錯點撥：周期變換與平移變換過程中要注意變換的僅是x，防止出錯.

　　5.已知函數f(x)=sin(xR，ω>0)的部分圖象如圖所示，點P是圖象的最高點，Q是圖象的最低點，且|PQ|=，則f(x)的最小正周期是(　　)

　　A.6π　　　　B.4π　　　　C.4　　　　　D.6

　　答案：D　解題思路：由于函數f(x)=sin，則點P的縱坐標是1，Q的縱坐標是-1.又由|PQ|==，則xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.

　　6.設函數f(x)=sin x+cos x，把f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的圖象恰好為函數y=-f′(x)的圖象，則m的最小值為(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　答案：C　解題思路：f(x)=sin x+cos x=sinx+，y=-f′(x)=-(cos x-sin x)=sin， 將f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m>0)平移后得到y=sin的圖象， sin=sin.故m=+2kπ，kN，故m的最小值為.

　　高中數學三角函數圖象與性質練習題二、填空題

　　7.(哈爾濱二模)函數f(x)=Asin(ωx+φ)+k的圖象如圖所示，則f(x)的表達式是f(x)=______.

　　答案：sin+1　命題立意：本題考查三角函數的圖象與性質，考查待定系數法，難度較小.

　　解題思路：據圖象可得A+k=，-A+k=-，解得A=，k=1，又周期T=2=πω=2，即此時f(x)=sin(2x+φ)+1，又由f=-，可得φ=，故f(x)=sin+1.

　　8.已知函數f(x)=sin(ω>0)在(0,2]上恰有一個最大值1和一個最小值-1，則ω的取值范圍為______.

　　答案：　命題立意：本題主要考查三角函數的圖象與性質，考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力.求函數f(x)=sin(ω>0，x(0,2])的最大值與最小值，一般通過“整體代換”轉化到正弦函數的圖象上求解.運用整體換元解題，是指通過觀察和分析，把解題的注意力和著眼點放在問題的整體形式和結構特征上，從而觸及問題的本質.通過換元，使之化繁為簡，化難為易，從而達到求解的目的，是提高解題速度的有效途徑.

　　解題思路：設t=ωx+，t，因為f(t)=sin t在t上有一個最大值1和一個最小值-1，則解得所以≤ω<.

　　9.已知a2sin θ+acos θ-2=0，b2sin θ+bcos θ-2=0(a，b，θR，且a≠b)，直線l過點A(a，a2)，B(b，b2)，則直線l被圓(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4所截得的弦長為________.

　　答案：2　命題立意：本題考查直線與圓的方程及點到直線距離公式的應用，考查函數與方程思想及化簡運算能力，難度中等.

　　解題思路：據已知a，b可視為方程x2sin θ+xcos θ-2=0的兩根，由韋達定理可得a+b=-，ab=-，又因為直線AB的方程為y=(a+b)x-ab，故圓心到直線距離d====1，故所求弦長為2=2.

　　高中數學三角函數圖象與性質練習題三、解答題

　　10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.

　　(1)將y表示成x的函數f(x)，并求f(x)的最小正周期;

　　(2)記f(x)的最大值為M，a，b，c分別為ABC的三個內角A，B，C對應的邊長，若f=M，且a=2，求bc的最大值.

　　解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，

　　即y=2cos2x+2sin xcos x

　　=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，

　　所以f(x)=2sin+1.

　　又T===π，

　　所以函數f(x)的最小正周期為π.

　　(2)由(1)易得M=3，

　　于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因為A為三角形的內角，所以A=.

　　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是當且僅當b=c=2時，bc取得最大值，且最大值為4.

　　11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].

　　(1)求函數f(x)的最小正周期和單調區間;

　　(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.

　　命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數的性質.(1)根據兩角和與差的三角函數公式將函數f(x)化簡，然后在所給角的取值范圍內討論函數的單調性;(2)利用正弦定理進行求解.

　　解析：(1)因為f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.

　　所以f(x)的最小正周期T==π.

　　因為x[0，π]，所以2x+，

　　當2x+，即x時，函數f(x)為單調遞增函數;

　　當2x+，即x時，函數f(x)為單調遞減函數;

　　當2x+，即x時，函數f(x)為單調遞增函數.

　　所以函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

　　(2)因為在ABC中，f=，

　　所以sin=，所以sin=1，

　　因為0

　　又因為a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，

　　所以sin B=，即B=或B=，

　　所以C=或C=.

　　鏈接高考：高考對于三角函數的考查一般是綜合考查同角三角函數關系、誘導公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數公式，運用這些公式先對函數解析式進行化簡，再進一步研究其性質.

　　12.已知函數f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.

　　(1)若函數f(x)的圖象過點E，F，求函數f(x)的解析式;

　　(2)如圖，點M，N是函數y=f(x)的圖象在y軸兩側與x軸的兩個相鄰交點，函數圖象上一點P滿足·=，求函數f(x)的最大值.

　　命題立意：本題考查三角函數的恒等變換、平面向量的相關內容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式等知識.對于第(1)問，根據函數f(x)的圖象過點E，F建立方程組，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數解析式;對于第(2)問，一種方法是先求出點M，N的坐標，再利用·=，即可求出函數f(x)的最大值;另一種方法是過點P作PC垂直x軸于點C，利用·=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函數f(x)圖象上，即可求得函數f(x)的最大值.

　　解析：(1) 函數f(x)的圖象過點E，F，

　　∴ sin=sin，

　　展開得cos θ+sin θ=.

　　cos θ=sin θ，tan θ=，

　　θ∈， θ=，

　　函數f(x)=Asin，

　　f=，

　　A=2.

　　f(x)=2sin.

　　(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 點M，N分別位于y軸兩側，則可得M，N，

　　=，=，

　　·==， +t=，

　　θ+2t=.

　　P在函數圖象上，

　　Asin(θ+2t)=Asin=，

　　A=. 函數f(x)的最大值為.

　　解法二：過點P作PC垂直x軸于點C.

　　令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，

　　M，N分別位于y軸兩側，可得M，N， ||=，

　　·=||·||cos PNM

　　=·||cos PNM=·||=，

　　||=， ||=||-||=，

　　即+t=.

　　θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，

　　A=. 函數f(x)的最大值為.

　　名師語要：本題較好的把三角函數與平面向量結合起來進行考查，既考查了三角函數有關的運算，又考查了向量的數量積運算.近幾年的高考中常常把三角函數與平面向量結合考查，也常常把三角函數與正余弦定理結合起來考查.

　　13.已知函數f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).

　　(1)求函數f(x)的最小正周期及在區間上的最大值和最小值;

　　(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.

　　解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得

　　f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

　　=sin 2x+cos 2x=2sin，

　　所以函數f(x)的最小正周期為π.

　　因為f(x)=2sin在區間上為增函數，在區間上為減函數，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數f(x)在區間上的最大值為2，最小值為-1.

　　(2)由(1)可知f(x0)=2sin，

　　因為f(x0)=，所以sin=.

　　由x0，得2x0+，

　　從而cos=-=-，

　　所以cos 2x0=cos

　　=coscos +sinsin

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