福建高考數學拋物線專項練習題

　　2.(2014遼寧,文8)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為(　　)

　　A.- 3B.-1 C.- 2D.-5

　　3.拋物線y=-4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是(　　)

　　A.- 1B.- 2C.1 D.2

　　4.(2014福建泉州模擬)拋物線y=x2上一點到直線2x-y-4=0的距離最短的點的坐標是(　　)

　　A. B.(1,1) C. D.(2,4)

　　5.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在C上,且|AK|=|AF|,則△AFK的面積為(　　)

　　A.4 B.8 C.16 D.32

　　6.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切的圓的方程為　　　　　.

　　7.已知拋物線x2=2py(p為常數,p≠0)上不同兩點A,B的橫坐標恰好是關于x的方程x2+6x+4q=0(q為常數)的兩個根,則直線AB的方程為　　　　　.

　　8.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,A,B是C上的兩個點,線段AB的中點為M(2,2),求△ABF的面積.

　　9.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.

　　(1)求曲線C的方程;

　　(2)是否存在正數m,對于過點M(m,0),且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

　　能力提升組

　　10.已知拋物線y2=2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是(　　)

　　A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定

　　11.設x1,x2R,常數a>0,定義運算“*”,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,則動點P(x,)的軌跡是(　　)

　　A.圓 B.橢圓的一部分

　　C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

　　12.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點.若=4,則|QF|=(　　)

　　A. 1B.3 C.4 D.2

　　13.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12,則p=　　　　　.

　　14.(2014大綱全國,文22)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.

　　(1)求C的方程;

　　(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線l'與C相交于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求l的方程.

　　15.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點D,且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時,△ADF為正三角形.

　　(1)求C的方程;

　　(2)若直線l1l,且l1和C有且只有一個公共點E,

　　①證明直線AE過定點,并求出定點坐標;

　　②△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.

　　福建高考數學拋物線專項練習題參考答案

　　1.C　解析:根據拋物線方程可得其焦點坐標為,雙曲線的上焦點為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.

　　2.C　解析:由已知,得準線方程為x=-2,

　　F的坐標為(2,0).

　　又A(-2,3),直線AF的斜率為k==-.故選C.

　　3.B　解析:拋物線方程可化為x2=-,其準線方程為y=.

　　設M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知-y0=1⇒y0=-.

　　4.B　解析:設拋物線上任一點為(x,y),

　　則由點到直線的距離得

　　d=

　　=.

　　當x=1時,取得最小值,此時點的坐標為(1,1).

　　5.B　解析:拋物線C:y2=8x的焦點為F(2,0),準線為x=-2,K(-2,0).

　　設A(x0,y0),過點A向準線作垂線AB垂足為B,則B(-2,y0).

　　|AK|=|AF|,

　　又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,

　　由|BK|2=|AK|2-|AB|2,

　　得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,

　　解得A(2,±4).

　　故△AFK的面積為|KF|·|y0|

　　=×4×4=8.

　　6.x2+(y-4)2=64　解析:拋物線的焦點為F(0,4),準線為y=-4,

　　則圓心為(0,4),半徑r=8.

　　故圓的方程為x2+(y-4)2=64.

　　7.3x+py+2q=0　解析:由題意知,直線AB與x軸不垂直.

　　設直線AB的方程為y=kx+m,與拋物線方程聯立,得x2-2pkx-2pm=0,

　　此方程與x2+6x+4q=0同解,

　　則解得

　　故直線AB的方程為y=-x-,

　　即3x+py+2q=0.

　　8.解:由M(2,2)知,線段AB所在的直線的斜率存在,

　　設過點M的直線方程為y-2=k(x-2)(k≠0).

　　由消去y,

　　得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.①

　　設A(x1,y1),B(x2,y2),

　　則x1+x2=,

　　x1x2=.

　　由題意知=2,

　　則=4,解得k=1,

　　于是直線方程為y=x,x1x2=0.

　　因為|AB|=|x1-x2|=4,

　　又焦點F(1,0)到直線y=x的距離d=,所以△ABF的面積是×4=2.

　　9.解:(1)設P(x,y)是曲線C上任意一點,

　　則點P(x,y)滿足-x=1(x>0),

　　化簡得y2=4x(x>0).

　　(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).

　　設l的方程為x=ty+m.

　　由得y2-4ty-4m=0,

　　Δ=16(t2+m)>0,

　　于是

　　因為=(x1-1,y1),

　　=(x2-1,y2),

　　所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.

　　又<0,

　　所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③

　　因為x=,所以不等式③可變形為

　　+y1y2-+1<0,

　　即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④

　　將①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤

　　因為對任意實數t,4t2的最小值為0,

　　所以不等式⑤對于一切t成立等價于m2-6m+1<0,

　　即3-20),則FD的中點為.

　　因為|FA|=|FD|,

　　由拋物線的定義知3+,

　　解得t=3+p或t=-3(舍去).

　　由=3,解得p=2.

　　所以拋物線C的方程為y2=4x.

　　(2)①由(1)知F(1,0).

　　設A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),

　　因為|FA|=|FD|,

　　則|xD-1|=x0+1.

　　由xD>0得xD=x0+2,

　　故D(x0+2,0).

　　故直線AB的斜率kAB=-.

　　因為直線l1和直線AB平行,設直線l1的方程為y=-x+b,

　　代入拋物線方程得y2+y-=0,

　　由題意Δ==0,

　　得b=-.

　　設E(xE,yE),

　　則yE=-,xE=.

　　當≠4時,kAE==-,

　　可得直線AE的方程為y-y0=(x-x0),

　　由=4x0,整理可得y=(x-1),

　　直線AE恒過點F(1,0).

　　當=4時,直線AE的方程為x=1,過點F(1,0).

　　所以直線AE過定點F(1,0).

　　②由①知直線AE過焦點F(1,0),

　　所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.

　　設直線AE的方程為x=my+1,

　　因為點A(x0,y0)在直線AE上,

　　故m=.

　　設B(x1,y1),

　　直線AB的方程為y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,

　　可得x=-y+2+x0,

　　代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0.

　　所以y0+y1=-,

　　可求得y1=-y0-,

　　x1=+x0+4.

　　所以點B到直線AE的距離為

　　d=

　　==4.

　　則△ABE的面積S=×4≥16,

　　當且僅當=x0,即x0=1時等號成立.

　　所以△ABE的面積的最小值為16.

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