高中數學函數的概念練習題及答案
高中數學函數的概念練習題一、選擇題
1.(文)(2014·新課標文，5)設函數f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是( )
A.f(x)g(x)是偶函數
B.|f(x)|g(x)是奇函數
C.f(x)|g(x)|是奇函數
D.|f(x)g(x)|是奇函數
[答案] C
[解析] 本題考查函數的奇偶性.
由f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，得
f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x).
f(x)·g(x)是奇函數，|f(x)|g(x)是偶函數，
f(x)|g(x)|是奇函數，|f(x)g(x)|是偶函數，選C.
[方法點撥] 函數奇偶性判定方法：
緊扣函數奇偶性的定義和函數的定義域關于坐標原點對稱、函數圖象的對稱性等對問題進行分析轉化，特別注意“奇函數若在x=0處有定義，則一定有f(0)=0，偶函數一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應用.
(理)(2015·安徽理，2)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是( )
A.y=cos x B.y=sin x
C.y=ln x D.y=x2+1
[答案] A
[解析] 考查函數的奇偶性和函數零點的概念.
由選項可知，B，C項均不是偶函數，故排除B，C;A，D項是偶函數，但D項與x軸沒有交點，即D項的函數不存在零點，故選A.
2.(文)函數f(x)=+的定義域為( )
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-∞，-3)(-3,0] D.(-∞，-3)(-3,1]
[答案] A
[解析] 本題考查了定義域的求法.
由題意知即即
-30，解得x<0或x>1，選C.
[方法點撥] 1.求解函數的定義域一般應遵循以下原則：
f(x)是整式時，定義域是全體實數;f(x)是分式時，定義域是使分母不為零的一切實數;f(x)為偶次根式時，定義域是使被開方數為非負值時的實數的集合;對數函數的真數大于零，且當對數函數或指數函數的底數中含變量時，底數需大于0且不等于1;零指數冪的底數不能為零;若f(x)是由有限個基本初等函數運算合成的函數，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集;對于求復合函數定義域的問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出;對于含字母參數的函數求其定義域，根據具體情況需對字母參數進行分類討論;由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義.
2.高考中常將指數函數、對數函數與二次函數或冪函數(例如分式函數、含偶次方根的函數)等結合起來考查，這時一般應從外到內逐層剝離解決.
例如，y=，從總體上看是分式，故先由分母不為0得到≠0，再由偶次方根下非負得到2-log3x>0，即log3x<2，最后由對數函數單調性及對數函數定義域得到00時，函數y=f[f(x)]+1的零點個數為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 結合圖象分析.當k>0時，f[f(x)]=-1，則f(x)=t1(-∞，-)或f(x)=t2(0,1).對于f(x)=t1，存在兩個零點x1、x2;對于f(x)=t2，存在兩個零點x3、x4，共存在4個零點，故選D.
6.函數f(x)=log(x2-4)的單調遞增區間為( )
A.(0，+∞) B.(-∞，0)
C.(2，+∞) D.(-∞，-2)
[答案] D
[解析] 本題考查復合函數的單調性，f(x)=log(x2-4)由y=logu及u=x2-4復合而成，y=logu在定義域內為減函數，而u=x2-4在(-∞，-2)上是減函數，在(2，+∞)上是增函數，所以f(x)=log(x2-4)的單調遞增區間(-∞，-2)，選D.
7.(文)已知函數f(x)=g(x)=log2x，則f(x)與g(x)兩函數圖象的交點個數為( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[答案] C
[解析] 畫出兩函數的圖象知，當01時，f(x)=00，排除D，故選C.
解法2：利用復合函數單調性的判斷方法，由于u=cosx在區間(-，0)、(0，)上分別為增函數和減函數，而y=logu為減函數，故復合函數f(x)=logcosx在區間(-，0)、(0，)上分別為減函數和增函數，故選C.
8.(文)如果我們定義一種運算：gh=已知函數f(x)=2x1，那么函數f(x-1)的大致圖象是( )
[答案] B
[解析] 由定義知，當x≥0時，2x≥1，f(x)=2x，當x<0時，2x<1，f(x)=1，
f(x)=其圖象易作，f(x-1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移1個單位得到，故選B.
[方法點撥] 1.新定義題型要準確理解把握新定義的含義，發掘出其隱含條件.
2.恒成立問題要注意恒成立的臨界點及特值法應用.
3.分段函數的單調性和最值問題，一般是在各段上分別討論.
(理)定義兩種運算：ab=，ab=，則函數f(x)=為( )
A.奇函數 B.偶函數
C.既是奇函數又為偶函數 D.非奇函數且非偶函數
[答案] A
[解析] 本題考查對新運算的理解和應用以及函數奇偶性的判斷方法，難度中等.
根據所給的運算定義得函數f(x)==，求出函數的定義域為[-2,0)(0,2]，關于原點對稱，且x-2≤0，所以函數f(x)===，易知f(-x)=-f(x)，所以原函數為奇函數，故選A.
[易錯分析] 本題中常見錯誤是不化簡函數的解析式而直接將-x代入，導致選擇錯誤答案D.
9.(文)已知f(x)=，則f(2013)等于( )
A.-1 B.2
C.0 D.1
[答案] D
[解析] 2013=403×5-2，f(2013)=f(-2)=log22=1.
(理)(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，則f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] C
[解析] 本題考查函數的奇偶性.
分別令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1，則
⇒f(1)+g(1)=1，故選C.
10.(2015·浙江嘉興測試一)偶函數f(x)在[0，+∞)上為增函數，若不等式f(ax-1)0，01，f(2)=，則實數a的取值范圍是________.
[答案] (-1，)
[解析] f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<-1，即<-1，解得-10)上的奇函數，令g(x)=af(x)+b，并有關于函數g(x)的四個論斷：
若a>0，對于[-1,1]內的任意實數m、n(m0恒成立;
函數g(x)是奇函數的充要條件是b=0;
a∈R，g(x)的導函數g′(x)有兩個零點;
若a≥1，b<0，則方程g(x)=0必有3個實數根;
其中所有正確結論的序號是________.
[答案]
[解析] g(x)=af(x)+b，=，由圖知對于f(x)在[-1,1]上任意兩點A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB=>0，又a>0，>0恒成立，故正確;
g(x)為奇函數g(-x)=-g(x)af(-x)+b=-af(x)-b2b=-a[f(-x)+f(x)]，f(x)為奇函數，f(-x)+f(x)=0，故g(x)為奇函數b=0，故正確;
g′(x)=af ′(x)，由圖知f(x)在[-c，c]上減、增、減，
f ′(x)在[-c，c]上取值為負、正、負，從而當a≠0時，g′(x)=0在[-c，c]上與x軸必有兩個交點，又a=0時，g′(x)=0在[-c，c]上恒成立，a∈R，g′(x)在[-c，c]上有兩個零點，故正確;
取a=1，b=-5，則g(x)=f(x)-5與x軸無交點，方程g(x)=0無實根，錯誤.
高中數學函數的概念練習題二、解答題
16.已知函數f(x)的定義域為R，對任意的實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+，且f()=0，當x>時，f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)判斷f(x)的增減性并證明.
[解析] (1)令x=y=，得f(1)=f()+f()+=.
(2)f(x)為增函數，證明：任取x1、x2R，且x2>x1，Δx=x2-x1>0，則：
Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)=f(Δx)+f(x1)+-f(x1)=f(Δx)+=f(Δx)+f()+=f(Δx+)，
又Δx>0，Δx+>，f(Δx+)>0，
f(x2)>f(x1)，f(x)在R上是增函數.
[方法點撥] 抽象函數的求值與性質討論，常結合條件式通過賦值轉化解決，賦值時要緊扣目標進行.如判斷奇偶性要創設條件產生f(-x)與f(x)的關系式;判斷單調性，則要在設出x1
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