1、向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

2、向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a;

結合律：(a+b)+c=a+(b+c).

向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點,指向被減”

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

向量的的數量積

1、定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a?b.若a、b不共線,則a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共線,則a?b=+-∣a∣∣b∣.

2、向量的數量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'.

3、向量的數量積的運算律

a?b=b?a(交換律);

(λa)?b=λ(a?b)(關于數乘法的結合律);

(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

4、向量的數量積的性質

a?a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a?b=0.

|a?b|≤|a|?|b|.

5、向量的數量積與實數運算的主要不同點

(1)向量的數量積不滿足結合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.

(2)向量的數量積不滿足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.

(3)|a?b|≠|a|?|b|

(4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

數乘向量

1、實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣.

當λ>0時,λa與a同方向;

當λ<0時,λa與a反方向;

當λ=0時,λa=0,方向任意.

當a=0時,對于任意實數λ,都有λa=0.

注：按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

實數λ叫做向量a的系數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.

當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.

2、數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb).

向量對于數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

向量的向量積

1、定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

2、向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

3、向量的向量積運算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.