高中數學教師資格面試《函數的單調性》教案【一】教學目標

　　(1)從形與數兩方面理解單調性的概念。

　　(2)絕大多數學生初步學會利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法。

　　2.過程與方法：

　　(1)通過對函數單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力。

　　(2)通過對函數單調性定義的探究，體驗數形結合思想方法。

　　(3)經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。

　　3.情感態度價值觀：

　　通過知識的探究過程養成細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣;感受用辯證的觀點思考問題。

　　高中數學教師資格面試《函數的單調性》教案【二】教學重點

　　函數單調性的概念形成和初步運用。

　　高中數學教師資格面試《函數的單調性》教案【三】教學難點

　　函數單調性的概念形成。

　　高中數學教師資格面試《函數的單調性》教案【四】教學關鍵

　　通過定義及數形結合的思想，理解函數的單調性。

　　高中數學教師資格面試《函數的單調性》教案【五】教學過程

　　(一)創設情境，導入新課

　　教師活動：分別作出函數y=2x，y=-2x和y=x2+1的圖象，并且觀察函數變化規律，描述前兩個圖象后，明確這兩種變化規律分別稱為增函數和減函數。 然后提出兩個問題：問題一：二次函數是增函數還是減函數?問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數，什么是減函數?

　　學生活動：觀察圖象，利用初中的函數增減性質進行描述，y=2x的圖象自變量x在實數集變化時，y隨x增大而增大，y=-2x的圖象自變量x在實數集變化時，y隨x增大而減小。在此基礎上描述y=x2+1在(-∞，0]上y隨x增大而減小，在(0，+∞)上y隨x增大而增大。理解單調性是函數的局部性質，在一個區間里，y隨x增大而增大，則是增函數;y隨x增大而減小就是減函數。

　　設計意圖：數學課程標準中提出“通過已學過的函數特別是二次函數理解函數的單調性”，因此在本環節的設計上，從學生熟知的一次函數和二次函數入手，從初中對函數增減性的認識過渡到對函數單調性的直觀感受。通過一次函數認識單調性，再通過二次函數認識單調性是局部性質，進而完善感性認識。

　　(二)初步探索，形成概念

　　教師活動：(以y=x2+1在 (0，+∞)上單調性為例)讓學生理解如何用精確的數學語言(隨著、增大、任取)來描述函數的單調性，進而得到增(減)函數的定義。并進一步提出如何判斷的問題。

　　學生活動：通過交流、提出見解，提出質疑，相互補充理解函數定義的解釋，討論表示大小關系時，理解如何取值，明白任取的意義。

　　設計意圖：通過啟發式提問，實現學生從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”認識函數的單調性，實現“形”到“數”的轉換。

　　(三)概念深化，延伸擴展

　　教師活動：提出下面這個問題：能否說f(x)= 在它的定義域上是減函數?從這個例子能得到什么結論?并給出例子進行說明：

　　進一步提問：函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增(減)函數，何時函數在A∪B上也是增(減)函數，最后再一次回歸定義，強調任意性。

　　學生活動：思考、討論，提出自己觀點，并提出反例，如x1=-1，x2=1，進而得出結論：函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增(減)函數，函數在A∪B上不一定是增(減)函數將函數圖象進行變形(如x<0時圖象向下平移)。

　　設計意圖：通過上面的問題，學生已經從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言學生還缺乏準確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學生對單調性概念的理解。

　　(四)證明探究，應用定義

　　教師活動：展示例題

　　例1：證明函數

　　在(0，+ )上是增函數

　　證明：任取 且

　　∴函數 在(0，+ )上是增函數。

　　進一步提問：如果把(0，+∞)條件去掉，如何解這道題?要求學生課后思考。

　　學生活動：根據單調性定義進行證明、討論，規范出證明步驟：設元、作差、變形、斷號、定論，理解根據定義進行判斷，體會判斷可轉化成證明并完成課后思考題。

　　設計意圖：本環節是對函數單調性概念的準確應用，本題采用前面出現過的函數，一方面希望學生體會到函數圖象和數學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。課標中指出“形式化是數學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發，尋求方法，并體會轉化思想。

　　(五)小結評價，作業創新

　　教師活動：從知識、方法兩個方面引導學生進行總結，留出如下的課后作業(1、2、4必做，3選做)：

　　1、 證明：函數 在區間[0，+∞)上是增函數。

　　2、課上思考題

　　3、求函數 的單調區間

　　4、思考P46 探索與研究

　　學生活動：回顧函數單調性定義的探究過程、證明、判斷函數單調性的方法步驟和數學思想方法，完成課后作業。

　　設計意圖：使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義，并且作業實現分層，滿足學生需求。

　　高中數學教師資格面試《函數的單調性》教案【六】板書設計

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