高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點

　　(2)注意：討論的時候不要遺忘了的情況。

　　(3)第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

　　1.映射：注意①第一個集合中的元素必須有象;②一對一，或多對一。

　　2.函數(shù)值域的求法：①分析法;②配方法;③判別式法;④利用函數(shù)單調(diào)性;

　　⑤換元法;⑥利用均值不等式;⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、絕對值的意義等);⑧利用函數(shù)有界性(、、等);⑨導(dǎo)數(shù)法

　　3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

　　(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

　　①若f(x)的定義域為〔a，b〕,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。

　　(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

　　①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù);

　　②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;

　　③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

　　注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。

　　4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。

　　5.函數(shù)的奇偶性

　　⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;

　　⑵是奇函數(shù);

　　⑶是偶函數(shù);

　　⑷奇函數(shù)在原點有定義，則;

　　⑸在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;

　　(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價變形，再判斷其奇偶性;

　　6.函數(shù)的單調(diào)性

　　⑴單調(diào)性的定義：

　　①在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時有 ;

　　②在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時有 ;

　　⑵單調(diào)性的判定

　　1 定義法：

　　注意：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號;

　　②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分);

　　③復(fù)合函數(shù)法(見2 (2));

　　④圖像法。

　　注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

　　7.函數(shù)的周期性

　　(1)周期性的定義：

　　對定義域內(nèi)的任意，若有(其中為非零常數(shù))，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。

　　所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。

　　(2)三角函數(shù)的周期

　　①;②;③;

　　④;⑤;

　　⑶函數(shù)周期的判定

　　①定義法(試值)②圖像法③公式法(利用(2)中結(jié)論)

　　⑷與周期有關(guān)的結(jié)論

　　①或 的周期為;

　　②的圖象關(guān)于點中心對稱周期為2 ;

　　③的圖象關(guān)于直線軸對稱周期為2 ;

　　④的圖象關(guān)于點中心對稱，直線軸對稱周期為4 ;

　　8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

　　⑴冪函數(shù)：(;⑵指數(shù)函數(shù)：;

　　⑶對數(shù)函數(shù): ;⑷正弦函數(shù): ;

　　⑸余弦函數(shù)：;(6)正切函數(shù)：;⑺一元二次函數(shù)：;

　　⑻其它常用函數(shù)：

　　1 正比例函數(shù)：;②反比例函數(shù)：;特別的

　　2 函數(shù);

　　9.二次函數(shù)：

　　⑴解析式：

　　①一般式：;②頂點式：，為頂點;

　　③零點式：。

　　⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

　　①開口方向;②對稱軸;③端點值;④與坐標(biāo)軸交點;⑤判別式;⑥兩根符號。

　　⑶二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合;②分類討論。

　　10.函數(shù)圖象：

　　⑴圖象作法：①描點法(特別注意三角函數(shù)的五點作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

　　⑵圖象變換：

　　1 平移變換：ⅰ，2 ———“正左負(fù)右”

　　ⅱ ———“正上負(fù)下”;

　　3 伸縮變換：

　　ⅰ，( ———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍;

　　ⅱ，( ———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍;

　　4 對稱變換：ⅰ ;ⅱ ;

　　ⅲ ;ⅳ ;

　　5 翻轉(zhuǎn)變換：

　　ⅰ ———右不動，右向左翻(在左側(cè)圖象去掉);

　　ⅱ ———上不動，下向上翻(| |在下面無圖象);

　　11.函數(shù)圖象(曲線)對稱性的證明

　　(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

　　(2)證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點在的圖象上，反之亦然;

　　注：

　　①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

　　②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a-x, y)=0;

　　③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x= 對稱;

　　特別地：f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱;

　　⑤函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對稱;

　　12.函數(shù)零點的求法：

　　⑴直接法(求的根);⑵圖象法;⑶二分法.

　　13.導(dǎo)數(shù)

　　⑴導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)記作;

　　⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ①;②;③;

　　④;⑤;⑥;⑦;

　　⑧。

　　⑶導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

　　⑷(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

　　⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

　　①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過”該點的切線?

　　②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：

　　ⅰ是增函數(shù);ⅱ為減函數(shù);

　　ⅲ為常數(shù);

　　③利用導(dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù);ⅱ求方程的根;ⅲ列表得極值。

　　④利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：ⅰ求的極值;ⅱ求區(qū)間端點值(如果有);ⅲ得最值。

　　14.(理科)定積分

　　⑴定積分的定義：

　　⑵定積分的性質(zhì)：①(常數(shù));

　　②;

　　③(其中。

　　⑶微積分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式)：

　　⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：;

　　3 求變速直線運動的路程：;③求變力做功：。

　　第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

　　1.⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

　　⑵弧長公式：;扇形面積公式：。

　　2.三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點為，設(shè)則：

　　3.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦;

　　4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不(改)變，符號看象限”;

　　5.⑴對稱軸：;對稱中心：;

　　⑵對稱軸：;對稱中心：;

　　6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：;

　　7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①

　　②③。

　　8.二倍角公式：①;

　　②;③。

　　9.正、余弦定理：

　　⑴正弦定理： (是外接圓直徑)

　　注：①;②;③。

　　⑵余弦定理：等三個;注：等三個。

　　10。幾個公式:

　　⑴三角形面積公式：;

　　⑵內(nèi)切圓半徑r= ;外接圓直徑2R=

　　11.已知時三角形解的個數(shù)的判定：

　　第四部分 立體幾何

　　1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。

　　2.表(側(cè))面積與體積公式：

　　⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V=S底h

　　⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= S底h：

　　⑶臺體：①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= (S+ )h;

　　⑷球體：①表面積：S= ;②體積：V= 。

　　3.位置關(guān)系的證明(主要方法)：

　　⑴直線與直線平行：①公理4;②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理。

　　⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。

　　⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。

　　⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理。

　　⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。

　　注：理科還可用向量法。

　　4.求角：(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)

　　⑴異面直線所成角的求法：

　　1 平移法：平移直線，2 構(gòu)造三角形;

　　3 ②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，4 發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。

　　注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。

　　⑵直線與平面所成的角：

　　①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin 。

　　注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。

　　⑶二面角的求法：

　　①定義法：在二面角的棱上取一點(特殊點)，作出平面角，再求解;

　　②三垂線法：由一個半面內(nèi)一點作(或找)到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;

　　③射影法：利用面積射影公式： ,其中為平面角的大小;

　　注：對于沒有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法;

　　理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個班平面法向量的夾角。

　　5.求距離：(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)

　　⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算;

　　⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解;

　　⑶點到平面的距離：

　　①垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段(確定已知面的垂面是關(guān)鍵)，再求解;

　　5 等體積法;

　　理科還可用向量法：。

　　⑷球面距離：(步驟)

　　(Ⅰ)求線段AB的長;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度數(shù);(Ⅲ)求劣弧AB的長。

　　6.結(jié)論：

　　⑴從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;

　　⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

　　⑶正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos =S底;

　　⑷長方體的性質(zhì)

　　①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則：cos2 +cos2 +cos2=1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。

　　②長方體體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2 +cos2 +cos2=2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。

　　⑸正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，則正四面體的：

　　1 高：;②對棱間距離：;③相鄰兩面所成角余弦值：;④內(nèi)切2 球半徑：;外接球半徑：;

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