【例題】現(xiàn)有一口高10米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度為5米，由于井壁比較光滑，青蛙每跳5米下滑3米，這只青蛙跳幾次能跳出此井?

　　A.4

　　B.5

　　C.6

　　D.7

　　【解析】B

　　方法一：枚舉法

　　此題比較簡單，可以通過枚舉法快速得到答案，但僅僅用該方法顯然不能滿足目前考試的需要，因?yàn)閷?shí)際考試中，數(shù)據(jù)可能會(huì)較大，枚舉過于耗時(shí)，枚舉情況過多時(shí)也容易馬虎出錯(cuò)，所以在此講述此方法主要是為了便于大家理解青蛙跳井的整個(gè)過程。

　　青蛙跳井問題關(guān)鍵特征：周期性、周期內(nèi)有正有負(fù)。

　　我們講這個(gè)例子主要是為了得出針對此類問題，簡單但適用性更強(qiáng)的解題方法-不定方程。

　　方法二：不等式法

　　先來分析一下青蛙跳井問題，青蛙不停地上跳下滑，一直在做周期性運(yùn)動(dòng)，我們可以把上跳1次下滑1次看做1個(gè)周期;不管最終青蛙跳幾次才能跳出此井，有一點(diǎn)是確定的，第一次跳出井口的時(shí)，它是在上跳的過程中，而不可能是在下滑的過程中，那么扣除最后1次跳出井口，其它恰好是完整周期，當(dāng)最后一次下滑后，青蛙距離井口的高度≤跳1次能完成的高度時(shí)，青蛙再跳1次，即可跳出井口。

　　以此題為例，我們假設(shè)青蛙運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口。

　　青蛙每運(yùn)動(dòng)1周期能上移2m，運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，上移(2x)m，此時(shí)距離井口的高度為10-2x≤5，解得x≥2.5，所以x=3，也就是青蛙運(yùn)動(dòng)3個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口，與我們前面枚舉法做出來的結(jié)果相同，但就通過解不等式，就省卻了枚舉的過程，計(jì)算量小，用時(shí)短，不易出錯(cuò)。

　　總結(jié)一下解題方法：

　　1.找到周期。分析每周期情況：上跳1次下滑1次為1周期，每周期完成高度2m，每周期完成高度的最大值5m。

　　2.解不等式。假設(shè)青蛙運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口。運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后剩余高度=總高度-每周期完成高度×x≤每周期完成高度的最大值，解出周期數(shù)。

　　3.計(jì)算次數(shù)。x個(gè)周期所用次數(shù)+x個(gè)周期后剩余高度所用次數(shù)，兩部分分別計(jì)算相加。

　　再來做一題，練習(xí)一下不等式法解決青蛙跳井問題。

　　【例題】現(xiàn)有一口高40米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度為4米，由于井壁比較光滑，青蛙每跳4米下滑1米，這只青蛙跳幾次能跳出此井?

　　A.11

　　B.12

　　C.13

　　D.14

　　【解析】C

　　1.找到周期。分析每周期情況：上跳1次下滑1次，每周期完成高度3m，每周期完成高度的最大值4m。

　　2.解不等式。假設(shè)青蛙運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口。運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后剩余高度=40-3×x≤4。解出x≥12，所以運(yùn)動(dòng)了12個(gè)周期。

　　3.計(jì)算次數(shù)。12個(gè)周期所用次數(shù)12次+12個(gè)周期后剩余高度所用次數(shù)1次=13次。